Mathématiques
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Bonjour tout le monde voila je suis en premiere S et j'ai besoin d'aide sur un exercice de maths pour mon DM,c'est l'ex 1. J'espere vraiment que vous pourrez m'aider! Merci d'avance :) Ps: je dois le rendre lundi

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(1) Réponses
djamelmca2000

Bonjour  Usainbolt [latex]f(x)=\dfrac{4x^2-x+4}{x^2-x+1}[/latex] 1) Ensemble de définition de la fonction f. Les valeurs interdites sont celles qui annulent le dénominateur. [latex]x^2-x+1=0\\\Delta=(-1)^2-4\times1\times1=1-4=-3\ \textless \ 0[/latex] D'où l'équation n'a pas de solution. On en déduit que x² - x + 1 ≠ 0 pour tous les réels x. Par conséquent,  [latex]\boxed{D_f=\mathbb{R}}[/latex] 2) a) Dérivée f '(x) [latex]f(x)=\dfrac{4x^2-x+4}{x^2-x+1}\\\\f'(x)=\dfrac{(4x^2-x+4)'\times(x^2-x+1)-(4x^2-x+4)\times(x^2-x+1)'}{(x^2-x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{(8x-1)(x^2-x+1)-(4x^2-x+4)(2x-1)}{(x^2-x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{8x^3-8x^2+8x-x^2+x-1-8x^3+4x^2+2x^2-x-8x+4}{(x^2-x+1)^2}\\\\\boxed{f'(x)=\dfrac{3-3x^2}{(x^2-x+1)^2}}[/latex] b) Signe de f '(x) - Variations de f - Tangentes... [latex]f'(x)=\dfrac{3-3x^2}{(x^2-x+1)^2}\\\\f'(x)=\dfrac{3(1-x^2)}{(x^2-x+1)^2}[/latex] Or 3 > 0 x²-x+1 > 0 (car le discriminant de  x²-x+1 est négatif et que le coefficient de x² est positif) D'où le signe de f'(x) est le signe de 1-x². 1-x² = 0 x² = 1 x = -1  ou  x = 1 [latex]\begin{array}{|c|ccccccc|} x&-\infty&&-1&&1&&+\infty\\1-x^2&&-&0&+&0&-&\\f'(x)&&-&0&+&0&-&\\f(x)&&\searrow&3&\nearrow&7&\searrow&\\ \end{array}[/latex] Les tangentes à la courbe C sont horizontales aux points de coordonnées (-1;3) et (1;7) puisque f '(-1)=0 et f '(7) = 0  (voir tableau) Les équations des tangentes horizontales sont y = 3 et y = 7. 3) L'équation réduite de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 0 est de la forme : y = f '(0)(x - 0) + f(0). [latex]f'(x)=\dfrac{3-3x^2}{(x^2-x+1)^2}\Longrightarrow f'(0)=\dfrac{3-3\times0}{(0-0+1)^2}=\dfrac{3}{1}=3\\\\\\f(x)=\dfrac{4x^2-x+4}{x^2-x+1}\Longrightarrow f(0)=\dfrac{0-0+4}{0-0+1}=4\\\\\\\Longrightarrow T_{a=0}:y=3(x-0)+4\\\\\boxed{T_{a=0}:y=3x+4}[/latex] L'équation réduite de la tangente à la courbe C au point d'abscisse 2 est de la forme : y = f '(2)(x - 2) + f(2). [latex]f'(x)=\dfrac{3-3x^2}{(x^2-x+1)^2}\Longrightarrow f'(2)=\dfrac{3-3\times4}{(4-2+1)^2}=\dfrac{-9}{9}=-1\\\\\\f(x)=\dfrac{4x^2-x+4}{x^2-x+1}\Longrightarrow f(2)=\dfrac{16-2+4}{4-2+1}=\dfrac{18}{3}=6\\\\\\\Longrightarrow T_{a=2}:y=-(x-2)+6\\\\T_{a=2}:y=-x+2+6\\\\\boxed{T_{a=2}:y=-x+8}[/latex] 4) Intersection de C avec les axes. Intersection avec l'axe des abscisses:  L'abscisse de cette intersection est la solution de l'équation f(x) = 0 [latex]f(x)=0\Longrightarrow \dfrac{4x^2-x+4}{x^2-x+1}=0\\\\\Longrightarrow 4x^2-x+4=0\\\Delta=(-1)^2-4\times4\times4=1-64=-63\ \textless \ 0[/latex] L'équation f(x) = 0 n'admet donc pas de solution. Par conséquent, la courbe C ne coupe pas l'axe des abscisses. Intersection avec l'axe des ordonnées : L'abscisse de ce point d'intersection est égale à 0. L'ordonnée de ce point est f(0) = 4 (calculé précédemment) Par conséquent, les coordonnées du point d'intersection de C avec l'axe des ordonnées sont (0 ; 4) 5) Positions relatives de la courbe C et de la droite (Δ). Etude du signe de f(x)-4 [latex]f(x)-4=\dfrac{4x^2-x+4}{x^2-x+1}-4=\dfrac{4x^2-x+4}{x^2-x+1}-\dfrac{4(x^2-x+1)}{x^2-x+1}\\\\\\f(x)-4=\dfrac{4x^2-x+4-4(x^2-x+1)}{x^2-x+1}\\\\\\f(x)-4=\dfrac{4x^2-x+4-4x^2+4x-4}{x^2-x+1}\\\\\\f(x)-4=\dfrac{3x}{x^2-x+1}[/latex] Nous avons déjà montré que x²-x+1>0 pour tout les réels x. Donc le signe de f(x)-4 est le signe de 3x. Or 3x > 0 <==> x > 0      3x < 0 <==> x < 0 D'où  f(x) - 4 > 0 <==> x > 0 f(x) - 4 < 0 <==> x < 0 Par conséquent,  si x > 0, alors la courbe C est au-dessus de la droite (Δ) si x < 0, alors la courbe C est en-dessous de la droite (Δ) 6) Graphique en pièce jointe

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