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VIOLETTA1234
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Soit f(x)=x²+2x+100 le coût total de production, en euros, pour des quantités x, avec x appartenant [0;15]. Le coût moyen en fonction de x, pour x appartenant ]0;15], est défini par g(x) = f(x)/x; on a donc g(x)=x²+2x+100/x Le coût marginal en fonction de x, pour x appartenant ]0;15], est défini par h(x) = f ' (x), ou f ' désigne la fonction dérivée de x. a) Donner l'expression de h(x) b) Calculer la dérivée de g c) Etudier le signe g ' (x) et dresser le tableau de variation de g d) Montrer que lorsque le coût moyen est minimum, il est égal au coût marginal

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(1) Réponses
louise74

Bonsoir, 1) Coût marginal : h(x) = f '(x) = (x² + 2x + 100)'                       = (x²)' + (2x)' + 100'                         = 2x + 2  2) [latex]g(x)=\dfrac{x^2+2x+100}{x}\\\\g(x)==\dfrac{x^2}{x}+\dfrac{2x}{x}+\dfrac{100}{x}\\\\g(x)=x+2+\dfrac{100}{x}\\\\g'(x)=x'+2'+(\dfrac{100}{x})'\\\\g(x)=1+0-\dfrac{100}{x^2}\\\\g(x)=1-\dfrac{100}{x^2}\\\\g(x)=\dfrac{x^2}{x^2}-\dfrac{100}{x^2}\\\\g(x)=\dfrac{x^2-100}{x^2}[/latex] c) Etude du signe de g'(x) et variations de g. Tableau de signes de g'(x) racines : Numérateur : x²-100=0 <==> (x-10)(x+10)=0                                                    <==> x-10 = 0  ou  x+10 = 0                                                    <==> x = 10  ou  x = -10 Dénominateur : x = 0 [latex]\begin{array}{|c|ccccccccc|}x&-\infty&&-10&&0&&10&&+\infty \\ x^2-100&&+&0&-&-&-&0&+&\\x^2&&+&+&+&0&+&+&+&\\g'(x)&&+&0&-&|&-&0&+&\\g(x)&&\nearrow&-18&\nearrow&|&\searrow&22&\nearrow&\\ \end{array}[/latex] Or x ∈ [0 ; 15] Par conséquent  [latex]\begin{array}{|c|cccccc|}x&0&&10&&15&\\ x^2-100&-&-&0&+&+&\\x^2&0&+&+&+&+&\\g'(x)&|&-&0&+&+&\\g(x)&|&\searrow&22&\nearrow&\approx23,6\\ \end{array}[/latex] d) Le coût moyen est minimal si x= 10. Le minimum est égal à 22. Or le coût marginal est défini par  h(x) = 2x + 2  ==> h(10) = 2*10 + 2 = 22. Donc g(10) = h(10) = 22. Par conséquent,  lorsque le coût moyen est minimum, il est égal au coût marginal

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