Matematyka
matita
2

Dla jakich wartości parametru m, gdzie m należy do R - {-3} równanie [latex] 4^{x} +4^{2x}+4^{3x}+...= \frac{m}{m+3} [/latex] ma rozwiązanie?

+0
(1) Odpowiedź
rolado

[latex]4^x(1+4^x+4^{2x}+....)=4^x* \frac{1}{1-4^x} = \frac{m}{m+3} \\ (m+3)4^x=m-m*4^x \\ (2m+3)*4^x=m \\ 4^x= \frac{m}{2m+3} [/latex] po pierwsze 4^x jest zawsze dodatnie, więc: [latex] \frac{m}{2m+3} \ \textgreater \ 0 \\ m(2m+3)\ \textgreater \ 0[/latex] m∈(-∞,-3)U(-3,-3/2)U(0,∞) żeby ten ciąg geometryczny w ogóle dało się  zsumować, to iloczyn tego ciągu (4^x) musi mieć moduł mniejszy niż 1. Zatem: [latex] |\frac{m}{2m+3} |\ \textless \ 1 \\ \frac{m}{2m+3} \ \textless \ 1 \\ \frac{-m-3}{2m+3} \ \textless \ 0 \\ (m+3)(2m+3)\ \textgreater \ 0 \\ m\ \textless \ - 3 lubm\ \textgreater \ - \frac{3}{2} [/latex] podsumowując: dla m∈(-∞,-3)U(0,∞)

Dodaj swoją odpowiedź